cos 二倍角公式是三角恒等变换核心公式，用来计算角度翻倍之后的余弦值，一共存在三种等价表达形式，高中数学高考，大学高数积分化简都会频繁用到这个公式。原始形式是 cos2x 等于 cosx 的平方减去 sinx 的平方，后续结合同角三角函数平方关系，还能推导出只带余弦的版本 cos2x 等于 2 倍 cosx 平方减 1，以及只带正弦的版本 cos2x 等于 1 减 2 倍 sinx 平方。这个公式源头来自余弦和角公式，把和角里面两个角都设置成同一个角 x，合并之后就得到角度加倍的表达式。很多初学者最容易犯的错误，就是把 cos2x 写成 2cosx，要明确 cos 二倍角公式是角度扩大一倍，并不是余弦数值乘以 2，两者含义完全不一样，计算结果差别很大。同时这个公式还可以反向使用，也就是降幂公式，把二次幂的三角函数转化成一次三角函数，在求周期求最值，不定积分，级数化简题型里面属于必用工具。
公式推导步骤
第一步 写出余弦和角公式 cos (a+b)=cos a cos b - sin a sin b
第二步 令 a=x，b=x，代入和角公式当中
第三步 合并同类项，得到 cos (x+x)=cosx cosx - sinx sinx
第四步 整理得到原始公式 cos2x=cos²x - sin²x
第五步 利用恒等式 sin²x+cos²x=1，把 sin²x 替换成 1 减 cos²x，得到 cos2x=2cos²x - 1
第六步 把 cos²x 替换成 1 减 sin²x，得到 cos2x=1 - 2sin²x
三种形式对照表
| 序号 | 公式形式 | 特点 | 适用题型 |
|---|---|---|---|
| 1 | cos2x=cos²x - sin²x | 同时含有正弦平方和余弦平方 | 恒等式证明题 |
| 2 | cos2x=2cos²x - 1 | 只保留余弦平方 | 已知 cosx 求 cos2x |
| 3 | cos2x=1 - 2sin²x | 只保留正弦平方 | 已知 sinx 求 cos2x |
逆用降幂公式清单
cos²x=(1+cos2x)/2
sin²x=(1-cos2x)/2
这一组就是 cos 二倍角公式反向改写，叫做降幂扩角，作用是把二次三角函数降成一次，是高频考点。
易错点整理
1 不要混淆 cos2x 和 2cosx，cos 二倍角公式是角度加倍，不是函数值乘 2
2 第三个公式是 1 减 2sin²x，不要写成 2sin²x 减 1，符号很容易出错
3 三个式子全部等价，同一个 x 代入计算结果完全相等，只是书写形式不一样
4 如果角换成 α，cos 二倍角公式依然成立，也就是 cos2α，直接替换字母即可
【常见问题】
问题 1 cos 二倍角公式一共有几个等价版本
回答 1 cos 二倍角公式一共有三个等价版本，分别是 cos²x 减 sin²x，2cos²x 减 1，1 减 2sin²x，三个式子可以互相转换。
问题 2 cos 二倍角公式是怎么推导出来的
回答 1 cos 二倍角公式由余弦和角公式，令两个角相等合并推导得到，再结合同角三角函数平方恒等式，衍生出另外两个变形版本。
问题 3 cos 二倍角公式逆用的降幂公式有什么用途
回答 1 cos 二倍角公式逆用得到降幂公式，可以把二次三角函数转化成一次式，常用于化简解析式，求周期最值还有不定积分计算。
【免责申明】
本文内容依据高中数学三角函数教材整理，仅作学习参考，正式考试请以教材考纲和任课教师要求为准。
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评论列表（4条）
我是启知新能源网的签约作者“日常万事解”！
希望本篇文章《cos 二倍角公式 三种等价变形详解》能对你有所帮助！
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本文概览：cos 二倍角公式是三角恒等变换核心公式，用来计算角度翻倍之后的余弦值，一共存在三种等价表达形式，高中数学高考，大学高数积分化简都会频繁用到这个公式。原始形式是 cos2x 等于 cosx 的平方减去 sinx 的平方，后续结合同角三角函数平方关系，还能推导出只带余弦的版本 cos2x 等于 2 倍 cosx 平方减 1，以及只带正弦的版本 cos2x 等于 1 减 2 倍 sinx 平方。这个公式源头来自余弦和角公式，把和角里面两个角都设置成同一个角 x，合并之后就得到角度加倍的表达式。很多初学者最容易犯的错误，就是把 cos2x 写成 2cosx，要明确 cos 二倍角公式是角度扩大一倍，并不是余弦数值乘以 2，两者含义完全不一样，计算结果差别很大。同时这个公式还可以反向使用，也就是降幂公式，把二次幂的三角函数转化成一次三角函数，在求周期求最值，不定积分，级数化简题型里面属于必用工具。